définition :
Une famille \(\{u_i,1\leqslant i\leqslant n\}\) de vecteurs de \(E\) est une famille libre (linéairement indépendante) si $$\sum^n_{i=0}\lambda_iu_i=0_E\implies\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0$$
Propriété :
Toute sous-famille d'une famille libre est aussi libre
Proposition :
Étant donné \(F=\operatorname{Vect}(\underbrace{u_1,\ldots,u_n}_{\text{libre} })\subset E\), \(v{{\notin F}}\)
La famille \((u_1,u_2,\ldots,u_n,v)\) est aussi libre
Proposition : soit \(\mathcal F=\{u_1,u_2,\ldots,u_m\}\) une famille libre dans \(E\)
Alors la famille \(\{u_1,u_2,\ldots,u_m,u_{m+1}\}\) est libre si et seulement si $$u_{m+1}\notin\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_m)$$
Démonstration : $$\begin{align}&\text{supposons que }\{u_1,u_2,\ldots,u_m,u_{m+1}\}\text{ soit liée}\\ &\text{alors il existe } \alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\ldots+\alpha_{m+1}u_{m+1}=\bar0\tag x\\ &\text{si }\alpha_{m+1}=0,\text{alors }\{u_1,u_2,\ldots u_m\}\text{ est liée ?}\\ \\ &\text{on prend }\alpha_{m+1}\neq0\\ &(\text x)\iff u_{m+1}=\sum^m_{i=0}\frac{\alpha_i}{\alpha_{m+1}}u_i=-\frac{\alpha_i}{u_i}-\ldots-\frac{\alpha_m}{u_m}\in\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_m) \end{align}$$
